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Uma nova apreciação para o matemático irlandês William Hamilton

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2 de setembro de 2020, marcará o 155º aniversário da morte do matemático irlandês William Rowan Hamilton. Hoje, o trabalho de Hamilton está provando ser fundamental para as áreas das teorias de campo, como eletromagnetismo e mecânica quântica.

Hamilton nasceu em Dublin, Irlanda, filho de um advogado irlandês e, aos três anos, foi enviado para morar com um tio que dirigia uma escola. Lá, Hamilton demonstrou uma habilidade incrível de aprender línguas, tornando-se fluente em hebraico, persa, árabe, hindustani, sânscrito e malaio.

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Aos 18 anos, Hamilton entrou no Trinity College, Dublin, onde recebeu primeiro um BA, depois um MA em matemática em 1837. Enquanto ainda era estudante, Hamilton foi nomeado para o posto de Astrônomo Real da Irlanda e mudou-se para o Observatório Dunsink, onde ele passou o resto de sua vida.

Hamilton é mais famoso por reformular a mecânica newtoniana em mecânica hamiltoniana. Ele também criou o caminho Hamiltoniano, que é um caminho rastreável que visita cada vértice de um poliedro exatamente uma vez.

Um poliedro é uma forma tridimensional com faces poligonais planas (de vários lados), arestas retas e cantos ou vértices agudos. Caminhos hamiltonianos em poliedros também foram estudados durante os matemáticos do século XVIII Abraham de Moivre e Leonhard Euler, pelo matemático indiano do século IX Rudrata e pelo matemático islâmico al-Adli ar-Rumi.

Geometria Simplética

O trabalho de Hamilton levou a um novo campo chamado geometria simplética, que é o estudo de espaços geométricos de estrutura simplética. Eh, o que é uma estrutura simplética?

Uma estrutura simplética fornece uma maneira de medir a área de um espaço. Hamilton descobriu esses espaços enquanto analisava o movimento dos planetas e, em tal espaço, você pode alterar a forma do espaço apenas se sua área permanecer a mesma.

Conforme um planeta se move através do espaço, sua posição no espaço tridimensional é descrita por três coordenadas ao longo dos eixos x, y e z. Hamilton viu que em cada ponto no espaço tridimensional, você também pode atribuir três coordenadas adicionais: xm, ym, e zm que especificam o momento do planeta ao longo de cada eixo.

Assim, cada ponto no espaço tridimensional pode receber seis coordenadas, três que especificam sua posição e três que especificam seu momento. Isso se torna um espaço simplético de seis dimensões. A palavra "simplético" vem da palavra grega Sumplektikós, que significa "trançado junto". Isso reflete a forma como a estrutura simplética e números complexos estão interligados.

Se você se lembra da aula de álgebra do ensino médio, os números complexos incluem Eu que é a raiz quadrada de -1. Os números complexos podem ser escritos na forma:
a + bi
Onde uma reflete a parte real, e b é a parte imaginária. Você pode definir um espaço simplético de seis dimensões usando três números complexos. Hoje, a geometria simplética é usada nos campos da teoria das cordas, topologia e simetria de espelho.

Além de inventar a geometria simplética, Hamilton também fez descobertas em áreas de funções de casal algébrico conjugado (números complexos são construídos como pares ordenados de números reais), a capacidade de resolução de equações polinomiais e a teoria de funções flutuantes, que é usada na análise de Fourier.

Quaternions

Hamilton também é o descobridor de quatérnions, que são um sistema numérico que estende os números complexos. Uma característica estranha dos quaternions é que a multiplicação de dois quaternions não comutativo. Comutativo significa que se alterarmos a ordem dos operandos, o resultado não muda.

No sistema de números reais, "3 + 4 = 4 + 3" e "2 × 5 = 5 × 2", entretanto, a divisão e a subtração são não comutativas. Por exemplo, "3 - 5 ≠ 5 - 3".

Quaternions são expressos como:
uma + bEu + cj + dk
Onde a, b, c, e d são números reais, e Eu, j, e k são quatérnions. Os quatérnios foram fundamentais para colocar o primeiro homem na lua e são usados ​​para gráficos gerados por computador em filmes.

Legado de Hamilton

Em 16 de outubro de 1843, Hamilton e sua esposa estavam caminhando ao longo da margem do Canal Real quando em Broome Bridge, Hamilton teve um momento Eureka. Ele rabiscou apressadamente na ponte sua fórmula para álgebra do Quaternion:
i² = j² = k² = ijk = -1.

Hamilton morreu em setembro de 1865 e está enterrado no cemitério Mount Jerome de Dublin. Em 2018, a Autoridade de Transporte Nacional da Irlanda marcou o "graffiti" de Hamilton na Ponte Broome encomendando uma obra de arte para o espaço.

Em 2005, no 200º aniversário do nascimento de Hamilton, o Trinity College Dublin lançou o Hamilton Mathematics Institute. A Royal Irish Academy dá uma palestra pública anual sobre o Hamilton Lecture e, em 1943, dois selos comemorativos foram emitidos pela Irlanda em homenagem a William Hamilton.

Em 2005, uma moeda à prova de prata comemorativa de 10 euros foi emitida pelo Central Bank of Ireland para comemorar os 200 anos desde o nascimento de Hamilton.


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